Equazione

Come risolvere le equazioni di primo grado

A

1) Equazioni di primo grado numeriche intere

Le equazioni numeriche intere di primo grado sono le equazioni nelle quali l'incognita non compare a denominatore.
Il procedimento da seguire è il seguente:

• Si eliminano eventuali denominatori e si eseguono i calcoli presenti
• Si spostano a primo membro i termini contenenti l'incognita e a secondo membro i termini noti (numeri)
• Si riducono i termini simili del primo membro e si effettuano i calcoli nel secondo membro, scrivendo l'equazione nella forma:

ax = b

A questo punto si possono presentarsi 3 casi:

• L'equazione è determinata. Se a è diverso da zero basta applicare il secondo principio di equivalenza, come visto sopra, e si ottiene  ;
• L'equazione è indeterminata. Se sia a che b sono uguali a zero, si ottiene un'equazione del tipo 0x = 0 che è vera per qualsiasi valore attribuito all'incognita x, perché qualunque numero moltiplicato per zero dà zero. Quindi si ha a che fare con un'identità;
• L'equazione è impossibile. Se a = 0 ma b è diverso da zero, si ottiene un'equazione del tipo 0x = b che non è verificata per alcun valore dell'incognita x perché non esiste alcun numero che moltiplicato per zero dia un numero diverso da zero.

Polinomi

In matematica un polinomio è un'espressione con costanti e variabili combinate usando soltanto addizione,
 sottrazione e moltiplicazione. In altre parole, un polinomio tipico, cioè ridotto in forma normale, è la
somma algebrica di alcuni monomi non simili tra loro, cioè con parti letterali diverse. Ad esempio

è la somma di tre monomi. Ciascun monomio è chiamato termine del polinomio.
Le costanti sono anche chiamate "coefficienti" e sono tutte elementi di uno stesso insieme numerico o di
un anello.
Quando valutati in un opportuno dominio, i polinomi possono essere interpretati come funzioni.Ad esempio,
 il polinomio

definisce una funzione reale di variabile reale.
Quando questo ha senso, le radici del polinomio sono definite come l'insieme di quei valori che,
sostituiti alle variabili, danno all'espressione polinomiale il valore nullo. Ad esempio,  ha come radici
i valori 1 e 2, poiché

I polinomi sono oggetti matematici di fondamentale importanza, alla base soprattutto dell'algebra, ma
anche dell'analisi e della geometria analitica.
Un polinomio si dice:
ridotto in forma normale, quando è stato semplificato, sono stati accorpati i suoi termini simili e sono
stati eliminati gli eventuali monomi nulli. Ad esempio:

ridotto in forma normale diventa

nullo, se consta del solo zero.
monomio, binomio, trinomio, quadrinomio... se è la somma di 1, 2, 3, 4... monomi.
omogeneo se è la somma di monomi dello stesso grado. Ad esempio:

è omogeneo di grado 2.
Due polinomi sono considerati uguali se, dopo essere stati ridotti in forma normale, hanno gli stessi termini, a meno dell'ordine. Quindi i
polinomi seguenti sono uguali:

Il grado di un polinomio non nullo e ridotto in forma normale è il massimo grado dei suoi monomi, mentre il grado parziale rispetto ad una
variabile è il grado risultante vedendo tutte le altre variabili come coefficienti. Quindi

ha grado due, mentre ha gradi parziali uno rispetto sia a  che a .
Si dicono coefficienti di un polinomio i coefficienti dei suoi singoli termini. Quindi i coefficienti di  sono rispettivamente 2, 1 e 1:
il coefficiente 1 in un monomio è solitamente sottinteso.
Il termine noto di un polinomio ridotto in forma normale è l'unico monomio (se esiste) di grado zero, cioè non contenente variabili. Se non
esiste un tale monomio, il termine noto è considerato generalmente inesistente o uguale a zero, secondo il contesto. Ad esempio, in

il termine noto è l'ultimo monomio: "5".